História
O matemático indiano Pingala apresentou a primeira descrição conhecida de um sistema numérico binário no século III a.C..
Um conjunto de 8 trigramas e 64 hexagramas, análogos a números binários com precisão de 3 e 6 bits, foram utilizados pelos antigos chineses no texto clássico I Ching. Conjuntos similares de combinações binárias foram utilizados em sistemas africanos de adivinhação tais como o Ifá, bem como na Geomancia do medievo ocidental.
Uma sistematização binária dos hexagramas do I Ching, representando a sequência decimal de 0 a 63, e um método para gerar tais sequências, foi desenvolvida pelo filósofo e estudioso Shao Yong no século XI. Entretanto, não há evidências que Shao Yong chegou à aritmética binária.
O sistema numérico binário moderno foi documentado de forma abrangente por Gottfried Leibniz no século XVIII em seu artigo “Explication de l’Arithmétique Binaire”. O sistema de Leibniz utilizou 0 e 1, tal como o sistema numérico binário corrente nos dias de hoje.
Em 1854, o matemático britânico George Boole publicou um artigo fundamental detalhando um sistema lógico que se tornaria conhecido como Álgebra Booleana. Seu sistema lógico tornou-se essencial para o desenvolvimento do sistema binário, particularmente sua aplicação a circuitos eletrônicos.
Em 1937, Claude Shannon produziu sua tese no MIT que implementava Álgebra Booleana e aritmética binária utilizando circuitos elétricos pela primeira vez na história. Intitulado “A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits”, a tese de Shannon praticamente fundou o projeto de circuitos digitais.
Operações com binários
Binários a decimais
Dado um número N, binário, para expressá-lo em decimal, deve-se escrever cada número que o compõe (bit), multiplicado pela base do sistema (base = 2), elevado à posição que ocupa. Uma posição à esquerda da vírgula representa uma potência positiva e à direita, uma potência negativa. A soma de cada multiplicação de cada dígito binário pelo valor das potências resulta no número real representado. Exemplo:
1011(binário)
1 × 2³ + 0 × 2² + 1 × 21 + 1 × 20 = 11
Portanto, 1011 é 11 em decimal
Decimais em binários
Decomposição do Número, exemplo:
8,375 = 8 + 0,375
Divisão por dois para o número inteiro:
8÷2=4 resto = 0
4÷2=2 resto = 0
2÷2=1 resto = 0
1
+ 1 do resultado
8 = 1000
Multiplicações Sucessivas para atingir o número pós vírgula de base 10 em binário dessa forma:
Se multiplica por dois, se a unidade do resultado for 0 pegue esse número e continue, se for 1 pegue o número e veja as casas decimais (depois da vírgula) se elas forem todas 0 você acaba, caso contrário zere a unidade e volte a fazer a multiplicação sempre pegando o número da unidade. Você coloca os números na ordem em que vieram sem for 0, 1 e depois 1 têm que ser 011. Exemplo:
0,375 x 2,000 ————— 0,750 x - pegue o 0 2,000 ————— 1,500 - pegue o 1 0,500 x - zerar a unidade e volte a multiplicar 2,000 ————— 1,000 - pegue o 1, quando o número chegar a 1,0 inteiro você para e utiliza os números dados anteriormente. Então 0,375 = 011 depois da vírgula de um binário, finalizando 8,375 = 1000,011
Soma de Binários
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=fica 0 e transporte de 1 (para somar ao digito imediatamente à esquerda)
1+1+1= fica 1 e transporte de 1(para somar ao digito imediatamente à esquerda)
Para somar dois números binários, o procedimento é o seguinte:
Exemplo 1:
*
1100
+ 111
-----
= 10011
Explicando: Os números binários são base 2, ou seja, há apenas dois algarismos: 0 (zero) ou 1 (um). Na soma de 0 com 1 o total é 1. Quando se soma 1 com 1, o resultado é 2, mas como 2 em binário é 10, o resultado é 0 (zero) e passa-se o outro 1 para a “frente”, ou seja, para ser somado com o próximo elemento, conforme assinalado pelo asterisco, como no exemplo acima.
Exemplo 2:
**
1100
+ 1111
-----
= 11011
Explicando: Nesse caso acima (exemplo 2), na quarta coluna da direita para a esquerda, nos deparamos com uma soma de 1 com 1 mais a soma do 1 ( * ) que veio da soma anterior. Quando temos esse caso (1 + 1 + 1), o resultado é 1 e passa-se o outro 1 para frente
Subtração de Binários
0-1=1 e vai 1* para ser subtraido no digito seguinte 1-1=0 1-0=1 0-0=0 Para subtrair dois números binários, o procedimento é o seguinte:
* ***
1101110
- 10111
-------
= 1010111
Explicando: Quando temos 0 menos 1, precisamos “pedir emprestado” do elemento vizinho. Esse empréstimo vem valendo 2 (dois), pelo fato de ser um número binário. Então, no caso da coluna 0 – 1 = 1, porque na verdade a operação feita foi 2 – 1 = 1. Esse processo se repete e o elemento que cedeu o “empréstimo” e valia 1 passa a valer 0. Os asteriscos marcam os elementos que “emprestaram” para seus vizinhos. Perceba, que, logicamente, quando o valor for zero, ele não pode “emprestar” para ninguém, então o “pedido” passa para o próximo elemento e esse zero recebe o valor de 1.
Multiplicação de Binários
A multiplicação entre binários é similar à realizada com números decimais. A única diferença está no momento de somar os termos resultantes da operação:
1 0 1 1
x 1 0 1 0
---------
0 0 0 0
+ 1 0 1 1
+ 0 0 0 0
+ 1 0 1 1
---------------
= 1 1 0 1 1 1 0
*
Perceba que na soma de 0 e 1 o resultado será 1, mas na soma de 1 com 1, ao invés do resultado ser 2, ele será 0 (zero) e passa-se o 1 para a próxima coluna, conforme assinalado pelo asterisco. Nota que se a soma passar de 2 dígitos, deve-se somar o número em binário correspondente ( ex. 7 = 111, 6 = 110, 5 = 101, 4 = 100, 3 =11).
1 1 1
x 1 1 1
---------
1 1 1
+ 1 1 1
+ 1 1 1
---------------
= 1 1 0 0 0 1
No caso, a terceira coluna a soma dá 4 (com mais um da anterior), que adiciona um “1” duas colunas depois (100).
Divisão de Binários
Essa operação também é similar àquela realizada entre números decimais:
110 |__10__ - 100 11—010 - 10—00
Deve-se observar somente a regra para subtração entre binários. Nesse exemplo a divisão de 110 por 10 teve como resultado 11.
Códigos Binários
A conversão de um número decimal no seu equivalente binário é chamada codificação. Um número decimal é expresso como um código binário ou número binário. O sistema numérico binário, como apresentado, é conhecido como código binário puro. Este nome o diferencia de outros tipos de códigos binários.
Decimal Codificado em Binário
O sistema numérico decimal é fácil de se usar devido à familiaridade. O sistema numérico binário é menos conveniente de se usar pois nos é menos familiar. É difícil olhar em número binário e rapidamente reconhecer o seu equivalente decimal.
Por exemplo, o número binário 1010011 representa o número decimal 83. É difícil dizer imediatamente, por inspeção do número, qual seu valor decimal. Entretanto, em alguns minutos, usando os procedimentos descritos anteriormente, pode-se prontamente calcular seu valor decimal. A quantidade de tempo que leva para converter ou reconhecer um número binário é uma desvantagem no trabalho com este código, a despeito das numerosas vantagens de “hardware”.
Os engenheiros reconheceram este problema cedo, e desenvolveram uma forma especial de código binário que era mais compatível com o sistema decimal. Como uma grande quantidade de dispositivos digitais, instrumentos e equipamentos usam entradas e saídas decimais, este código especial tornou-se muito difundido e utilizado. Esse código especial é chamado decimal codificado em binário (BCD – binary coded decimal). O código BCD combina algumas das características dos sistemas numéricos binário e decimais.
Código BCD 8421
O código BCD é um sistema de representação dos dígitos decimais desde 0 até 9 com um código binário de 4 bits. Esse código BCD usa o sistema de pesos posicionais 8421 do código binário puro. Exatamente como binário puro, pode-se converter os números BCD em seus equivalentes decimais simplesmente somando os pesos das posições de bits onde aparece 1.
| Decimal | Binário Puro | BCD |
|---|---|---|
| 0 | 0000 | 0000 |
| 1 | 0001 | 0001 |
| 2 | 0010 | 0010 |
| 3 | 0011 | 0011 |
| 4 | 0100 | 0100 |
| 5 | 0101 | 0101 |
| 6 | 0110 | 0110 |
| 7 | 0111 | 0111 |
| 8 | 1000 | 1000 |
| 9 | 1001 | 1001 |
| 10 | 1010 | 0001 0000 |
| 11 | 1011 | 0001 0001 |
| 12 | 1100 | 0001 0010 |
| 13 | 1101 | 0001 0011 |
| 14 | 1110 | 0001 0100 |
| 15 | 1111 | 0001 0101 |
Observe, entretanto, que existem apenas dez códigos válidos. Os números binários de 4 bits representando os números decimais desde 10 até 15 são inválidos no sistema BCD. Para representar um número decimal em notação BCD substitui-se cada dígito decimal pelo código de 4 bits apropriados.
Por exemplo, o inteiro decimal 834 em BCD é 1000 0011 0100. Cada dígito decimal é representado pelo seu código BCD 8421 equivalente. Um espaço é deixado entre cada grupo de 4 bits para evitar confusão do formato BCD com o código binário puro. Este método de representação também se aplica as frações decimais.
Por exemplo, a fração decimal 0,764 é “0.0111 0110 0100” em BCD. Novamente, cada dígito decimal é representado pelo seu código equivalente 8421, com um espaço entre cada grupo.
Uma vantagem do código BCD é que as dez combinações do código BCD são fáceis de lembrar. Conforme se começa a trabalhar com números binários regularmente, os números BCD tornam-se tão fáceis e automáticos como números decimais. Por esta razão, por simples inspeção da representação BCD de um número decimal pode-se efetuar a conversão quase tão rápido como se já estivesse na forma decimal.
Como exemplo, converter o número BCD no seu equivalente decimal. 0110 0010 1000.1001 0101 0100 = 628,954
O código BCD simplifica a interface Homem-máquina, mas é menos eficiente que o código binário puro. Usam-se mais bits para representar um dado número decimal em BCD que em notação binária pura.
Por exemplo, o número decimal 83 é escrito como 1000 0011. Em código binário puro, usam-se apenas 7 bits para representar o número 83. Em BCD, usam-se 8 bits. O código BCD é ineficiente, pois, para cada bit numa palavra de dado, há usualmente alguma circuitaria digital associada. A circuitaria extra associada com o código BCD custa mais, aumenta a complexidade do equipamento e consome mais energia. Operações aritméticas com números BCD também consomem mais tempo e são mais complexas que aquelas com números binários puros. Com quatro bits de informação binária, você pode representar um total de 24 = 16 estados diferentes ou os números decimais equivalentes desde o 0 até o 15. No sistema BCD, seis destes estados (10-15) são desperdiçados.
Quando o sistema numérico BCD é usado, alguma eficiência é perdida, mas aumenta-se o entendimento entre o equipamento digital e o operador humano.
Conversão Binário para BCD
A conversão de decimal para BCD é simples e direta. Entretanto, a conversão de binário para BCD não é direta. Uma conversão intermediária deve ser realizada primeiro. Por exemplo, o número 1011.01 é convertido no seu equivalente BCD.
Primeiro o número binário é convertido para decimal. 1011.01 = (1×2^3)+(0x2^2)+(1×2^1)+(1×2^0)+(0x2^-1)+(1×2^-2) =8+0+2+1+0+0,25 = 11,25(10)
Então o resultado decimal é convertido para BCD. 11,25(10) = 0001 0001.0010 0101
Para converter de BCD para binário, as operações anteriores são invertidas. Por exemplo, o número BCD 1001 0110.0110 0010 0101 é convertido no seu equivalente binário.
- O número BCD é convertido para decimal. 1001 0110.0110 0010 0101 = 96,625
- O resultado decimal é convertido para binário
Inteiro Resto Posição Fração Inteiro Posição 96 ÷ 2 = 48 0 -> LSB 0,625 x 2 = 1,25 = 0,25 1 <- MSB 48 ÷ 2 = 24 0 0,250 x 2 = 0,50 = 0,50 0 24 ÷ 2 = 12 0 0,500 x 2 = 1,00 = 0 0 <- LSB 12 ÷ 2 = 06 0 06 ÷ 2 = 03 0 03 ÷ 2 = 01 1 01 ÷ 2 = 00 1 <- MSB 9610 = 11000002 0,62510 = 0.101 96,62510 = 9610 + 0,62510= 1100000 + 0.101 = 1100000.101
Como o número decimal intermediário contém uma parte inteira e uma parte decimal, cada parte é convertida como visto anteriormente. A soma binária (inteiro mais fração) 1100000.101 é equivalente ao número BCD 1001 0110.0110 0010 0101.
Vários códigos binários são chamados códigos alfanuméricos pois eles são usados para representar caracteres assim como números.
Código ASCII
O “American Standard Code for Information Interchange” comumente referido como ASCII – também chamado ASCII completo, ou ASCII estendido –, é uma forma especial de código binário que é largamente utilizado em microprocessadores e equipamentos de comunicação de dados.
Um novo nome para este código que está se tornando popular é “American National Standard Code for Information Interchange” (ANSCII). Entretanto, utilizaremos o termo consagrado, ASCII. É um código binário que usado em transferência de dados entre microprocessadores e seus dispositivos periféricos, e em comunicação de dados por rádio e telefone. Com 7 bits pode-se representar um total de 27 = 128 caracteres diferentes. Estes caracteres compreendem números decimais de 0 até 9, letras maiúsculas e minúsculas do alfabeto, mais alguns outros caracteres especiais usados para pontuação e controle de dados!
Giuliano M. Raul 